Андрій Дробишевський народився 23 квітня 1982 року у місті Червоноград Львівської області.
Навчався у місцевій школі № 10, опісля у профтехучилищі № 55 (зараз – Червоноградський професійний гірничо-будівельний ліцей), де здобув спеціальність слюсаря-ремонтника.
Працював на шахті «Великомостівська» прохідником.
З початком повномасштабного вторгнення добровольцем вступив до лав ЗСУ. Спочатку воював у складі 103-ї бригади Сил територіальної оборони Збройних сил України, а потім – у складі 42-ої окремої механізованої бригади.
25 серпня був важкопоранений внаслідок ворожого обстрілу у районі Серебрянського лісу в Луганській області.
Андрій помер 5 вересня 2023 року внаслідок важкого поранення.