Андрій Грицай народився 28 вересня 1988 року у місті Буськ Львівської області.
Повну середню освіту здобув у Буській загальноосвітній школі І–ІІІ ступенів № 2.
У 2006 році продовжив навчання в Золочівському професійному коледжі, де здобув професію столяра будівельного та паркетника.
Працював на меблевих підприємствах — ФОП Кучма та ТзОВ «Бусол».
Восени 2013 року Андрій став активним учасником Революції Гідності.
30 січня 2023 року Андрій був призваний Другим відділом Золочівського РТЦК і СП до лав Збройних Сил України. Виконував бойові завдання на посаді водія гранатометного взводу механізованого батальйону 33-ї окремої механізованої бригади ЗСУ. Брав участь у контрнаступі у Запорізькій області.
Андрій загинув 15 червня 2023 року, під час наступу українських сил оборони на позиції окупантів біля н.п. Мала Токмачка Пологівського району, старший солдат Андрій Грицай загинув. Тривалий час вважався безвісти зниклим. Прощання відбулося 29 липня 2025 року.